GreenTensor · документация

Введение

GreenTensor решает задачу рассеяния плоской ЭМ-волны на сфере, состоящей из произвольного числа концентрических слоёв с независимыми диэлектрической ε и магнитной μ проницаемостями. В основе лежит разложение поля по сферическим гармоникам и рекуррентный пересчёт направленных импедансов  Z̄ₙ(rₗ) и Ȳₙ(rₗ) от центра наружу через все слои — это даёт аналитически замкнутое решение без объёмной 3D-сетки.

Когда библиотека уместна

• Структура сферически-симметрична (в полярной/сферической системе координат не зависит от θ и φ).
• Слои локально однородны и изотропны (ε, μ — комплексные скаляры).
• Среда линейная (нет нелинейных эффектов, насыщения, гистерезиса).
• Источник — плоская волна (или произвольный набор плоских волн через суперпозицию).

Когда взять что-то другое

• Не сфера: куб, цилиндр, произвольная форма → MoM, FEM, FDTD (HFSS, CST, Comsol, Meep).
• Анизотропные/ферритовые материалы → full-wave решатели с тензорными ε, μ.
• Связь с другими телами рядом → метод GMT (gigantic moment of T-matrix) или MoM.

Какие задачи можно решать

Библиотека предоставляет два класса: RCSCalculator — расчёт диаграммы рассеяния на одной частоте, и ScatteringCalculator — параметрический свип по электрическому размеру.

2.1 Бистатическая ЭПР (RCS) на одной частоте

Для заданных k₀a и структуры слоёв возвращает амплитудно-угловую зависимость рассеянного поля по углу θ от 0° до 360° для:

• линейной поляризации: E_θ(θ) и E_φ(θ);
• круговой поляризации: со-поляризованная E_op и кросс-поляризованная E_kp.

Все четыре результата нормированы в dB к собственному максимуму. Из них пересчитывается бистатическое сечение рассеяния в дБ:  σ_dB(θ) = 10·log₁₀(4π·|E(θ)|²/|E_inc|²).

2.2 Параметрический свип по k₀a

Для одной фиксированной структуры слоёв возвращает интегральные сечения как функции электрического размера. Это удобно для:

• оценки резонансов на разных частотах;
• выбора оптимального диапазона частот для линз и поглотителей;
• построения «частотной подписи» цели (Mie-резонансы).

2.3 Типовые приложения

Геометрия задачи

Структура задаётся вектором радиусов a = [a₁, a₂, …, aₙ], где aₖ — внешний радиус k-го слоя в безразмерных единицах (нормированных на радиус внешней оболочки). Длина вектора n совпадает с количеством слоёв в eps и miy.

3.1 Соглашения

• Изнутри наружу. Первый элемент a[0] — внутренний слой (ядро), последний a[-1] = 1 — внешний (вакуум).
• Безразмерность. Все радиусы делятся на R — внешний радиус сферы. Электрический размер k₀a — это волновое число k₀ умноженное на R; он передаётся как параметр расчёта, а не зашит в геометрию.
• Строгая монотонность. aₖ < aₖ₊₁, без совпадающих радиусов.
• Внешний слой = вакуум. Удобное соглашение API; реализация рассчитывает поля над сферой как над «слоем n+1 = свободное пространство».

3.2 Примеры

Однородная сфера (простейший случай)

# PEC-сфера радиуса R: 2 слоя — металл + внешний вакуум.
a   = [0.999, 1.0]                # внутренний радиус почти равен внешнему
eps = [-1.7e7j, 1.0]              # большое мнимое ε ≈ PEC; внешний слой — вакуум
miy = [1.0,    1.0]

Линза Люнеберга, 4 слоя

a   = [0.53, 0.75, 0.93, 1.00]  # границы слоёв изнутри наружу
eps = [1.86, 1.57, 1.28, 1.00]  # падение ε(r) от центра к краю
miy = [1.0,  1.0,  1.0,  1.0]   # немагнитные материалы

Биомедицинская модель головы (3 слоя, ~1 ГГц)

a   = [0.85,    0.92,   1.00]   # внутренний/мозг, череп, кожа+вакуум
eps = [45-13j, 11-2j, 1.0]    # комплексные ε при ~1 ГГц
miy = [1.0,    1.0,   1.0]

Источник излучения

Источник — плоская монохроматическая ЭМ-волна, падающая вдоль оси  z (θ_inc = 0°). Сферическая симметрия задачи позволяет ограничиться одним направлением падения — диаграмма рассеяния по углу θ от 0° до 360° даёт исчерпывающее описание.

4.1 Электрический размер k₀a

Это безразмерная связка волнового числа и геометрии. Через неё сразу видно режим:

В коде k₀a подаётся как параметр k0 (он уже включает множитель R):

rcs = RCSCalculator(k0=5, toch=10, n=4, a=a, eps=eps, miy=miy)

4.2 Поляризация

Падающая волна разложена по двум каноническим базисам — программа считает все одновременно:

• Линейная. E_θ (TM, вертикальная поляризация),  E_φ (TE, горизонтальная).
• Круговая. Со-поляризованная (op, опорная) и кросс-поляризованная (kp). Удобно для оценки деполяризации.

4.3 Параметр φ (азимут)

Управляет ориентацией плоскости наблюдения для линейной поляризации. По умолчанию  φ = π/2 (плоскость yz), что соответствует стандартному E-плану / H-плану измерений в антенной технике. Менять обычно не требуется — для сферически-симметричных задач все азимутальные плоскости эквивалентны с точностью до переименования E_θ ↔ E_φ.

Материальные свойства

Каждый слой описывается комплексными скалярными ε и μ в гауссовой нормировке (относительные проницаемости):

5.1 Знак мнимой части

Используется соглашение e+jωt: положительная мнимая часть соответствует усилению, отрицательная — потерям (физически нормальные материалы). Для металла принимаем ε″ < 0 и большую по модулю; для вакуума ε″ = 0.

5.2 Типовые значения

5.3 Соглашения по μ

Для немагнитных материалов всегда μ = 1 + 0j — это покрывает 99% задач в СВЧ. Магнитные слои (ферриты, гиромагнетики при работе вне резонанса) подаются как обычные комплексные скаляры.

Точность расчёта

Поле раскладывается в ряд по сферическим гармоникам. Параметр toch определяет количество удерживаемых членов. Слишком маленький toch — ряд не сходится; слишком большой — растут численные погрешности и время расчёта.

6.1 Эмпирическое правило

6.2 Как проверить сходимость

Сделайте два расчёта при toch и toch + 4. Если уровни главных лепестков диаграммы совпадают на 0.5 dB — точности достаточно. Если расходятся — увеличивайте.

Туториал · Линза Люнеберга

Цель — рассчитать диаграмму направленности 4-слойной 3D-печатной линзы Люнеберга при  k₀a = 5 (рабочий X-диапазон) и оценить положение главного луча и уровень боковых лепестков.

Постановка

Идеальная линза Люнеберга имеет градиентный профиль ε(r) = 2 − (r/R)². Для 3D-печати его аппроксимируем 4 ступенчатыми слоями постоянного ε. Радиусы и проницаемости подобраны методом минимаксного приближения профиля.

Запуск в Python

from greentensor import RCSCalculator
import matplotlib.pyplot as plt

rcs = RCSCalculator(
    k0=5, toch=10, n=4,
    a=[0.53, 0.75, 0.93, 1.0],
    eps=[1.86, 1.57, 1.28, 1.0],
    miy=[1, 1, 1, 1],
)
rcs.run_calculation()
rcs.plot_results()  # полярная и декартова диаграммы

Запуск в браузере

Откройте веб-расчётчик и выберите пресет «Люнеберг·4»:

Что должно получиться

• Главный луч в направлении θ ≈ 0° (попутное направление).
• Уровень боковых лепестков около −15…−18 dB.
• Симметрия диаграммы относительно оси падения.
• Время расчёта в браузере — 0.5–0.7 секунды.

Что менять для эксперимента

• Число слоёв: сравните 4 vs 9 слоёв — увидите, как падает уровень боковых лепестков.
• k₀a: при k₀a = 2 главный луч расширяется, при k₀a = 10 — сужается.
• Потери: добавьте ε″ = 0.024 (типичные потери PLA) — амплитуда упадёт примерно на 0.3 dB на слой.

Туториал · Металлическая сфера

Эталонная задача для верификации: ЭПР сплошной металлической сферы должна совпадать с классическим решением Mie. Используется как калибровочная цель в радиолокации.

PEC-аппроксимация

В TGF-формализме идеальный проводник задаётся материалом с очень большой по модулю мнимой ε. Эмпирически достаточно |ε″| ≈ 10⁷ — дальнейшее увеличение не меняет результат, только ускоряет численные переполнения.

Сравнение с теорией Mie

Проверьте полное сечение через свип:  ScatteringCalculator(toch=10, k0a_start=0.25, k0a_stop=5, k0a_step=0.05). Должны увидеть классические Mie-резонансы:

• при k₀a ≈ 1.0 — первый локальный максимум (резонанс электрический);
• при k₀a ≈ 1.4 — следующий пик (магнитодипольный);
• сходимость к σ_geo = π·a² (реальный размер) при k₀a → ∞.

Туториал · Биомедицинская модель головы

Трёхслойная сферическая модель «мозг – череп – кожа» позволяет быстро прикинуть диаграмму рассеяния головы на частоте 1 ГГц — типичная задача для проверки SAR-моделей и сертификации сотовых антенн.

Постановка

rcs = RCSCalculator(
    k0=2.0, toch=10, n=3,
    a=[0.85, 0.92, 1.0],
    eps=[45-13j, 11-2j, 1.0],
    miy=[1, 1, 1],
)
rcs.run_calculation()

На что обратить внимание

• Сильное затухание во влажных тканях — диаграмма «мягкая», без острых лепестков.
• Паразитное back-scatter резонирует на размерах кратно длине волны в мозге ( λ_brain ≈ λ₀ / √Re(ε) ≈ 0.15·λ₀).
• Параметры ε сильно зависят от частоты — для расчёта на других частотах берите из базы IT'IS или из таблиц Gabriel.

Туториал · Параметрический свип k₀a

Когда нужно понять как структура работает в полосе — не на одной частоте, а на диапазоне — используйте ScatteringCalculator. Он крутит  k₀a в заданном диапазоне и для каждой точки делает полный расчёт ЭПР.

Постановка

from greentensor import ScatteringCalculator, RCSCalculator

sc = ScatteringCalculator(
    toch=10,
    k0a_start=0.25, k0a_stop=5.0, k0a_step=0.05,
)
# подменяем дефолтную геометрию на свою (4-слойный Люнеберг):
sc.rcs_calculator = RCSCalculator(
    toch=10, n=4,
    a=[0.53, 0.75, 0.93, 1.0],
    eps=[1.86, 1.57, 1.28, 1.0],
    miy=[1]*4,
)
k0a, sigma_s, sigma_r, sigma_p, sigma_theta, sigma_phi = sc.calculate()

Что строить

• σ_s(k₀a) — общий уровень рассеяния. Резонансы видны как пики.
• σ_r(k₀a) — back-scatter. Главный практический показатель «заметности» цели.
• σ_p(k₀a) — forward. Полезно для линз/просветляющих покрытий: чем выше пропускание, тем выше σ_p.
• σ_θ, σ_φ — раздельно по поляризациям, видно, какая поляризация эффективнее рассеивается.

Сколько точек брать

Шаг k₀a_step = 0.05 при диапазоне 0.25…5.0 даёт 96 точек — это около 30–60 секунд в браузере. Для предварительного просмотра уменьшите до 0.1 (24 точки, 8–15 с). Для публикационных графиков — 0.02 (240 точек, ~2 минуты).

Python API · краткий справочник

Установка

# из PyPI
pip install GreenTensor

# или из исходников с примерами
git clone https://github.com/Den1sovDm1triy/GreenTensor.git
cd GreenTensor && pip install -e .

Импорт

from greentensor import RCSCalculator, ScatteringCalculator

RCSCalculator

Атрибуты результата (после run_calculation)

ScatteringCalculator

Возврат calculate()

Кортеж массивов длины N = (k0a_stop − k0a_start) / k0a_step + 1:  (k0a, σ_s, σ_r, σ_p, σ_θ, σ_φ).

Веб-расчётчик

Для быстрых проверок и демонстраций существует браузерная версия — она запускает тот же calc.py, что и десктопная библиотека, через Pyodide (CPython + numpy + scipy в WebAssembly).

Что отличается

• Никакой установки. Работает в любом современном браузере. Первая загрузка ~10–12 МБ (CPython + numpy + scipy), дальше всё из кеша.
• Локальный расчёт. Данные не уходят с устройства, можно работать офлайн после первой загрузки.
• 3D-редактор. Слои визуализируются в реальном времени — цвет шара меняется по ε.
• Ограничение производительности. Pyodide примерно в 2–4 раза медленнее десктопного CPython. Для свипа на 200+ точек удобнее Python локально.

Когда какой инструмент брать

Ограничения и теоретическая база

Что метод не умеет

• Несферические тела. Куб, цилиндр, эллипсоид — нужны MoM/FEM/FDTD.
• Анизотропные материалы. Тензорные ε, μ. См. метод T-матрицы или объёмные методы.
• Переменные параметры внутри слоя. Каждый слой — однородный. Градиент аппроксимируется ступенчато (увеличением числа слоёв).
• Близкое поле и резонансы внутри слоёв. Возвращается рассеянное поле в дальней зоне. Поле внутри слоёв сейчас не выводится в публичном API.
• Несколько тел. Только одна сферически-симметричная структура. Для систем тел нужен формализм многократного рассеяния (T-матрица).

Откуда взялся метод

Реализация продолжает линию работ школы Б. А. Панченко (УрФУ, кафедра ВЧСРТ): плоский → цилиндрический → сферический случай в едином TGF-фреймворке. Опорные источники:

• Панченко Б.А. Рассеяние и поглощение электромагнитных волн неоднородными сферическими телами. М.: Радиотехника, 2013.
• Bohren C.F., Huffman D.R. Absorption and Scattering of Light by Small Particles. Wiley, 1983 — классическая Mie-теория, к которой сводится частный случай однородной сферы.
• Greenwood A.D., Jin J.-M. A novel efficient algorithm for scattering from a complex BOR using mixed FE and EBC. IEEE Trans. AP, 1999 — для сравнения с гибридным методом.

Литература и ссылки

Публикации с использованием библиотеки

• Denisov D.V., Skumatenko I.O., Fadeev V.O., Shesterov M.A. GreenTensor Electromagnetic Library for Calculate Scattering on Multilayer Spherical Structures. IEEE EDM 2024. DOI: 10.1109/EDM61683.2024.10615009
• Denisov D.V., Skumatenko I.O., Shesterov M.A. GreenTensor Electromagnetic Library for Calculating Scattering Patterns on a Human Head Model. IEEE USBEREIT 2024. DOI: 10.1109/USBEREIT61901.2024.10584060

Исходники и данные

• GitHub-репозиторий — последняя версия, issues, pull requests.
• Веб-расчётчик — браузерный сольвер на этой же странице.
• IT'IS Database — диэлектрические свойства биотканей в широком диапазоне.
• IFAC Tissue Properties — альтернативный источник по моделям Gabriel.

Связь

Вопросы и сотрудничество: dv.denisov@urfu.ru. Pull-request'ы и отчёты об ошибках — через GitHub Issues.